ОДИН ВАРІАНТ МЕТОДУ СТЕФФЕНСЕНА ДЛЯ РОЗВ"ЯЗУВАННЯ ОПЕРАТОРНИХ РІВНЯНЬ

Анотація

Математичне моделювання складних фізичних процесів часто потребує розв'язування систем нелінійних рівнянь. Не існує універсальних методів для успішного розв'язання даної проблеми для широкого кола задач. Отже, проблема побудови нових більш ефективних алгоритмів є актуальною.
У даній роботі ми розглянемо, як знаходити розв'язок для системи нелінійних рівнянь. Існує багато підходів для відшукання розв'язків даної системи. Одним з найвідоміших ітераційних методів для розв'язування цієї проблеми є метод Ньютона. Цей метод стартує з точки $x_{0}$ та після $k$ ітерацій, якщо задовольниться вибраний критерій, зупиняється. Перевага методу Ньютона є в тому, що отримана послідовність збігається квадратично до розв'язку задачі, якщо початкова точка близька до точного розв'язку. Однак у методу є деякі недоліки. Одним з них є вибір початкової точки. Добра почакова точка може призвести до збіжності методу за декілька ітерацій. Для покращення початкової точки можна знайти в літературі різноманітні методи. Суттєвим недоліком методу Ньютона є те, що на кожному кроці потрібно обчислювати матрицю Якобі, що є само по собі вже складною задачею. Для вирішення даної проблеми можна скористатися різницевим варіантом методу Ньютона.
В даній статті ми пропонуємо розглянути узагальнений метод Стеффенсена, який є комбінацію методу простої ітерації та різницевого методу. У запропонованому методі швидкість збіжності є не меншою, ніж в класичному методі. Чисельні експерименти показують ефектичність запропонованого методу. Також ми представляємо теорему про збіжність методу, та її доводимо. В даній теоремі умови накладаються на функцію лише в початквій точці. На підставі числових розрахунків та порівняння отриманих результатів, показано, що запропонований метод дозволяє зменшити обчислювальні затрати для отримання розв’язку.