ЗБIЖНIСТЬ ПРОЦЕДУРИ СТОХАСТИЧНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ ДО ПРОЦЕСУ ОРНШТЕЙНА-УЛЕНБЕКА

U. Khimka, Y. Chabanyuk, N. Chernovol

Анотація


Розглянуто основну асимптотичну властивiсть неперервноЁ процедури стохастичноЁ апроксимацiЁ, а саме збiжнiсть до процесу Орнштейна-Уленбека. У цьому випадку функцiя регресiЁ процедури залежить вiд рiвномiрно ергодичного процесу Маркова, який опису№ зовнiшнiй вплив у виглядi переключень. Для отримання достатнiх умов збiжностi процедури використову№мо ергодичнi властивостi породжуючого генератора процесу Маркова, iснування стацiонарного розподiлу цього процесу та iснування потенцiалу для породжуючого генератора процесу Маркова. Процедура стохастичноЁ апроксимацiЁ, як випадковий процес, буду№ться в виглядi диференцiального рiвняння в фiксованому станi процесу Маркова з вiдповiдним генератором рiвняння. Асимптотичнiсть за часом досяга№ться використанням малого параметра, за яким норму№ться час. Це дало змогу отримати нормовану процедуру стохастичноЁ апроксимацiЁ, та ЁЁ диференцiальне подання. Генератор отриманого диференцiального рiвняння використовують для побудови генератора двокомпонентного процесу Маркова, який склада№ться з процедури та процесу переключень. Сингулярне подання цього генератора за малим параметром да№ пiдстави розв'язати проблему сингулярного збурення й обчислити вигляд граничного генератора. Таке подання визнача№ вигляд граничного процесу як дифузiйного процесу Орнштейна-Уленбека. Зауважимо, що збiжнiсть до граничного процесу № слабкою, яка виплива№ з теореми Королюка. Важливими № умови iснування функцiЁ Ляпунова для усередненоЁ за стацiонарним розподiлом процесу Маркова динамiчноЁ процедури. Додатковi умови на функцiю Ляпунова допомагають визначити обмеженiсть залишкових членiв розв'язку сингулярного збурення. Одновимiрний випадок процедури можна розширити до багатовимiрного з вiдповiдним ускладненням обчислень складникiв граничного генератора. Робота узагальню№ дослiдження Невельсона та Хасьмiнського на випадок безпосереднього впливу процесу Маркова на функцiю регресiЁ.


Повний текст:

PDF (English)

Посилання


1. BogolyubovN.M. Problems of dynamical theory in statistical physics /N.M.Bogolyubov. Moscow: Hostehyzdat, 1946. (in Russian) 2. ChabanyukYa.M. Stochastic approximation procedure in the Markov ergodic medium /Ya.M.Chabanyuk //Matematychni Studii. 2004. Vol.21, No1. (in Ukrainian). 3. FengI. Large diviations for stochastic processes /I.Feng, T.G.Kurtz //AMS Providence, RI. 2006. 4. FreidlinM.I. Random perturbations of dynamical systems, Second Editions /M.I.Freidlin, A.D.Wentzell. New-York: Springer-Verlag, 1998. 5. KinashA. Asymptotic dissipativity of the diusion process in the asymptotic small diusion scheme /A.Kinash, Ya.Chabanyuk, U.Khimka //Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics. 2015. Vol.14, No4. 6. KorolyukV.S. Stochastic Models of Systems /V.S.Korolyuk, V.V.Korolyuk //Academic Publishers, Kluwer. 1999. 7. KorolyukV.S. Stochastic Systems in Merging Phase Space /V.S.Korolyuk, N.Limnios //World Scientic Publishing. 2005. 8. LjungL. Stochastic Approximation and Optimization of Random Systems /L.Ljung, G.Pug, H.Walk. Berlin: Birkhauser Verlag, 1992. 9. NevelsonM.B. Stochastic approximation and recursive estimation /M.B.Nevelson, R.Z.Hasminskyy. Moskow: Nauka, 1972. (in Russian). 10. SkorohodA.V. Asymptotic methods of the theory of stochastic dierential equations /A.V.Skorohod. Kyiv: Naykowa dymka, 1987. (in Russian). 11. SamoilenkoI.V. Dierential Equations with Small Stochastic Additions Under Poisson Approximation Conditions. /I.V.Samoilenko, Y.M.Chabanyuk, A.V.Nikitin, U.T.Himka //Cybernetics and Systems Analysis. May. 2017. Vol.53, No3. P.410416.




DOI: http://dx.doi.org/10.30970/vam.2019.27.10689

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.