Про точність однієї теореми Р. Неванлінни

Анотація

Клас мероморфних функцій нижнього порядку $\lambda$ і порядку $\rho$ позначимо $M(\lambda, \rho)$, а $M_{+}^0(\lambda,\lambda+1)$ множину $f\in M(\lambda,\lambda+1)$, що
задовольняют умови $\underset{r \to +\infty}{\underline{\lim}}T(r,f)/r^\lambda>0$ і $T(r,f)=o(r^{\lambda+1})$, $r\to+\infty$.
Р. Неванлінна показав, що
\begin{equation*}\label{*}
T(r+1,f)\sim T(r,f),\,(r\to+\infty)\tag{*}
\end{equation*}
для $f\in M(\lambda,\rho)$ за умови $\rho-\lambda<1$. А. А. Гольдберг довів, що такі функції $f$ задовольняють співвідношення
\begin{equation*}\label{**}
T(r+\ln r,f)\sim T(r,f),\,(r\to+\infty),\tag{**}
\end{equation*}
а (\ref{*}) виконується і для функцій з множини $M_{+}^0(\lambda,\lambda+1)$.

В роботі показано, що для $f\in M_{+}^0(\lambda,\lambda+1)$ співвідношення (\ref{**}) може не виконуватися.