ПРО ДЕЯКІ ПИТАННЯ РОЗВ"ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ, ЯКІ МАЮТЬ НЕЄДИНИЙ РОЗВ"ЯЗОК

Анотація

Деякі крайові задачі для  рівняння Лапласа зводяться до інтегральних та інтегро-диференціальних  рівнянь, розв'язки яких є неєдиними.  Для розв'язування таких задач зручно використовувати модифіковані граничні рівняння, розв'язки яких  є єдиними. Це дає можливість отримати густинини  інтегрального подання розв'язків відповідних крайових задач. В роботі доведено коректність отриманих  модифікованих рівнянь, зокрема існування та єдиність розв'зків,  у відповідних функціональних просторах при виконанні певних додаткових умов. Для цього розглядається загальний випадок лінійних операторних рівнянь, оператори яких мають ненульове ядро.  Досліджуються різні випадки задання таких операторів. Отримано необхідні та достатні умови коректності модифікованих операторних рівнянь. Як приклади розглядаються  зовнішня задача Діріхле та внутрішня задача Неймана для двовимірного рівняння Лапласа.
 

Some boundary value problems for  Laplace equation are reduced to integral and integro-differential equations, whose solutions are not unique. To solve such problems it is convenient to use modified boundary equations, the solutions of which are unique. This  gives us possibility to obtain densities of the integral representations of solutions of the corresponding boundary value problems. In this paper we prove the correctness of the obtained modified equations, in particular existence and uniqueness of solutions in the corresponding functional spaces with  certain additional conditions. To do this, we consider the general case of linear operator equations whose operators have a nonzero kernel. Various cases of such operators are investigated. We obtained necessary and sufficient conditions of correctness for  received modified operator equations. As examples we consider exterior Dirichlet and interior Neumann boundary value problems for the two-dimensional Laplace equation.