БЕЗПОСЕРЕДНЄ РОЗВИНЕННЯ В РЯД ФУР’Є ЛОГАРИФМА КАНОНIЧНИХ ДОБУТКIВ ВЕЙЕРШТРАССА

Анотація

Нехай ${\pi }_p=\prod _{n=1}^{+\infty }E\left(\frac{z}{a_n},p\right)$ – канонiчний добуток Вейерштрасса роду, p, ${\mathrm{ℂ}}^{*}$ – комплексна площина з радiальними розрiзами вiд нулiв функцiї ${\pi }_p$ до ∞, ln ${\pi }_p$(z) визначена в ${\mathrm{ℂ}}^{*}$ однозначна гiлка багатозначної функцiї Ln πp(z) = ln |${\pi }_p$(z)| + iArg ${\pi }_p$(z) така, що ln ${\pi }_p$(0) = ln 1 = 0. Тобто

$\ln {\pi }_p\left(z\right)={\int }_0^z\frac{\mathrm{\pi }{\text{'}}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{w}\right)}{{\mathrm{\pi }}_{\mathrm{p}}\left(\mathrm{w}\right)}dw$, z ∈ ${\mathrm{ℂ}}^{*}$,

де iнтеграл береться вздовж вiдрiзку [0, z].
Безпосереднiм розвиненням ln ${\pi }_p$(z) в ряд Фур’є отримано формули для коефiцiєнтiв Фур’є $c_k\left(r,\ln {\pi }_p\right)$, якi залежать вiд нулiв ${\pi }_p$(z).

Ключовi слова: канонiчний добуток Вейерштрасса, цiла функцiя, коефiцiєнти Фур’є логарифму цiлої функцiї.