МІШАНА ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛІНІЙНИХ ПАРАБОЛІЧНИХ СИСТЕМ ЗІ ЗМІННИМИ ПОКАЗНИКАМИ НЕЛІНІЙНОСТІ В НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ БЕЗ УМОВ НА НЕСКІНЧЕННОСТІ

 

Микола Бокало, Тарас Бокало, Олена Доманська, Наталія Бугрій

Анотація


Досліджено мішану (початково-крайову) задачу з неоднорідними крайовими умовами для нелінійних параболічних систем зі змінними показниками нелінійності в необмежених за просторовими змінними областях. При цьому не накладається жодних обмежень на поведінку розв'язку і зростання вхідних даних на нескінченності. Доведено існування, єдиність і неперервну залежність від вхідних даних узагальнених  розв'язків таких задач, використовуючи  узагальнені простори Лебега та Соболєва.Отримано апріорні оцінки узагальнених розв'язків досліджуваних задач.

     Initial-boundary value problems for the parabolic equations and systems in unbounded with respect to the space variables domains were studied in many works. As is well known, in order to guarantee the uniqueness of the solutions of the initial-boundary value problems for the linear and many nonlinear parabolic equations and systems in unbounded domains,  it need to impose certain restrictions on  growth of the solutions at infinity, for example, to require limitations of the solutions or their  belonging to some functional spaces. However, there are nonlinear parabolic equations for which the initial-boundary value problem is uniquely solvable without any conditions at infinity.

 The nonlinear differential equations with the variable exponents of the nonlinearity  appear in mathematical modeling  of the various physical processes. In particular, these equations describe streams of the electroreological substances, recovering of the images, electric current in the conductor under the influence of the temperature field change.

Here the initial-boundary value problem with inhomogeneous boundary conditions for nonlinear parabolic systems with   variable exponents of nonlinearity in unbounded in space variables domains  without conditions at infinity is considered. The existence, uniqueness,  and continuous dependence of data-in of weak solutions of such problems in the corresponding generalized Lebesgue and Sobolev spaces are proved. Also estimates of this solutions are obtained.


Повний текст:

PDF

Посилання


1. Bernis F. Elliptic and parabolic semilinear parabolic problems without conditions at infinity/F. Bernis // Arch. Rational Mech. Anal. – 1989. – Vol. 106, No. 3. – P. 217–241.

2. Boccardo L. Solutions of nonlinear parabolic equations without growth restrictions on the data / L. Boccardo, Th. Gallou¨et, J.L.Vazquez // Electronic J. Diff. Eq. – 2001. – Vol. 60. – P. 1–20.

3. Bokalo N.M. Boundary value problems for semilinear parabolic equations in unbounded domains without conditions at infinity / N.M. Bokalo // Siberian Math. J. – 1996. – Vol. 37, No. 5. – P. 860–867.

4. Bokalo N.M. Correctness of the first boundary-value problem and the Cauchy problem for some quasilinear parabolic systems without conditions at infinity/ N.M. Bokalo // J. Math. Sci. – 2006. – Vol. 135, No. 1. – P. 2625–2636.

5. Bokalo M.M. Unique solvability of initial-boundary-value problems for anisotropic ellipticparabolic equations with variable exponents of nonlinearity / M.M. Bokalo, O.M. Buhrii, R.A. Mashiyev // J. Nonl. Evol. Eq. Appl. – 2013. – Vol. 6. – P. 67–87.

6. Bokalo M. Initial-boundary value problems for nonlinear elliptic-parabolic equations with variable exponents of nonlinearity in unbounded domains without conditions at infinity / M. Bokalo, O. Buhrii, N. Hryadil // Nonlinear Analysis. Elsevier. USA. – 2020. – Vol. 192. – P. 1–17.

7. Bokalo M. Initial-boundary value problems for anisotropic parabolic equations with variable exponents of the nonlinearity in unbounded domains with conditions at infinity / M. Bokalo // Journal of optimization, differential equations and their applications (JODEA). – 2022. – Vol. 30, No. 1. – P. 98–121.

8. Br´ezis H. Semilinear equations in RN without condition at infinity/ H. Br´ezis // Appl. Math. Optim. – 1984. – V. 12, No. 3. – P. 271–282.

9. Buhrii O. Nonlocal in time problem for anisotropic parabolic equations with variable exponents of nonlinearities / O. Buhrii, N. Buhrii // J. Math. Anal. Appl. – 2019. – Vol. 473. – P. 695–711.

10. Diening L. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents / L. Diening, P. Harjulehto, P. H¨ast¨o, and M. R˙uˇziˇcka. – Springer, Heidelberg, 2011.

11. Kov´a_cik O. Parabolic equations in generalized Sobolev spaces Wk;p(x)/ O.Kov´a_cik // Fasciculi Mathematici. – 1995. – Vol. 25. – P. 87–94.

12. Mashiyev R.A. Existence of solutions of the parabolic variational inequality with variable exponent of nonlinearity/ R.A. Mashiyev, O.M. Buhrii // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 2011. – Vol. 377. – P. 450–463.

13. R˘adulescu V. Partial differential equations with variable exponents: variational methods and qualitative analysis / V. R˘adulescu, D. Repovˇs. – CRC Press, Boca Raton, London, New York, 2015.

14. R˙uˇziˇcka M. Electroreological fluids: modeling and mathematical theory/ M. R˙uˇziˇcka. – Springer-Verl., Berlin, 2000.

15. Tikhonov A.N. Th´eoremes d’unicit´e pour l’´equation de la chaleur / Мат. сб. – 1935. – Том 42, № 2. – C. 199–216.

16. Бокало М. Коректнiсть задачi Фур’є для нелiнiйних параболiчних систем внеобмежених за всiма змiнними областях без умов на нескiнченностi / Микола Бокало, Тарас Бокало // Вiсник Львiв. ун-ту. Серiя мех.-мат. – 2022. – Вип. 94. – С. 109–145.

17. О.М. Бугрiй Задача з початковою умовою для нелiнiйної параболiчної варiацiйної нерiвностi в необмеженiй за просторовими змiнними областi / О.М. Бугрiй // Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2007. – Вип. 67. – С. 30–52.

18. Олейник О.А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений / О.А. Олейник, Г.А. Иосифьян // Успехи мат. наук. – 1976. – Том 31, № 6. – С. 142–166.




DOI: http://dx.doi.org/10.30970/vam.2023.31.12135

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.