Один варіант метода Стеффенсена для розвязування операторних рівнянь

Анотація

Математичне моделювання складних фiзичних процесiв часто потребу№ розв'я-
зування систем нелiнiйних рiвнянь. Не iсну№ унiверсальних методiв щоб успiшно
розв'язати цi проблеми для широкого кола задач. Отже, проблема побудови нових
ефективнiших алгоритмiв актуальна. Розглянемо як знаходити розв'язок для системи
нелiнiйних рiвнянь. Iсну№ багато пiдходiв для вiдшукання розв'язкiв цi№Ё системи.
Найвiдомiший iтерацiйний метод для розв'язування цi№Ё проблеми метод Ньютона.
Цей метод старту№ з точки x0 та пiсля k iтерацiй. Якщо задовольниться вибраний
критерiй, то зупиня№ться. Перевага методу Ньютона в тому, що отримана послi-
довнiсть збiга№ться квадратично до розв'язку задачi, якщо початкова точка близька
до точного розв'язку. Однак метод ма№ деякi недолiки. Одним з них № вибiр
початковоЁ точки. Добра почакова точка може призвести до збiжностi методу за
декiлька iтерацiй. Для полiпшення початковоЁ точки можна знайти в лiтературi
рiзнi методи. Сутт№вим недолiком методу Ньютона № те, що на кожному кроцi
потрiбно обчислювати матрицю Якобi, отже, це складна задача. Для вирiшення цi№Ё
проблеми можна скористатися рiзницевим варiантом методу Ньютона. Пропону№мо
розглянути узагальнений метод Стеффенсена, який № комбiнацi№ю методу простоЁ
iтерацiЁ та рiзницевого методу. У запропонованому методi швидкiсть збiжностi не
менша, нiж у класичному методi. Чисельнi експерименти свiдчать про ефектичнiсть
запропонованого методу. Пода№мо теорему про збiжнiсть методу та доводимо. В
цiй теоремi умови накладаються на функцiю лише в початквiй точцi. На пiдставi
числових розрахункiв i порiвняння отриманих результатiв доведено, що запропонова-
ний метод да№ змогу зменшити обчислювальнi затрати для отримання розв'язку.