Огляд результатiв теорiї Вiмана-Валiрона за останнi 50 рокiв. I: Нерiвнiсть Вiмана i спiввiдношення Бореля для цiлих функцiй вiд однiєї змiнної

Анотація

Статтю присвячено огляду результатів з теорії Вімана-Валірона в класі цілих і аналітичних функцій вигляду $f\left(z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{f}_n{z}^n, z\in \mathrm{ℂ},$, що стосуються таких співвідношень
$\ln M_f\left(r\right)~\ln {\mu }_f\left(r\right), \Psi \left(\ln M_f\right(r\left)\right)~\Psi \left(\ln {\mu }_f\right(r\left)\right),$
а також нерівностей типу Вімана $M_f\left(r\right)\le {\mu }_f\left(r\right)(\ln {\mu }_f{\left(r\right))}^{1/2}$, які виконуються для всіх $r\ge r_0$ зовні деяких виняткових множин; тут $M_f\left(r\right)$ та ${\mu }_f\left(r\right)$ - максимум модуля f на колі $\{z:\left|z\right|=r\}$ та максимальний член ряду Тейлора, відповідно. Описуються також твердження, що стосуються узагальнень цих результатів в класах цілих рядів Діріхле вигляду

$F\left(z\right)=\sum _{n=0}^{+\infty }{F}_{n}exp\left\{z{\lambda }_n\right\}, 0={\lambda }_0<{\lambda }_n<{\lambda }_{n+1}\uparrow +\infty (1\le n\uparrow +\infty )$

Розглядаються також аналоги подібних результатів в класі функцій $F:\mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}_{+}$ вигляду $F\left(x\right)={\int }_0^{+\infty }f\left(u\right)e^{xu}v\left(du\right)$,
де  $v$ --- невід'ємна міра на ${\mathrm{ℝ}}_{+}$ з необмеженим носієм $supp v, f\left(x\right)$  - довільна невід'ємна  $v$-вимірна функція на ${\mathrm{ℝ}}_{+}$.