ПIДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТI ЧИСЕЛЬНОГО IНТЕГРУВАННЯ В МСЕ З ВИКОРИСТАННЯМ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ

Дмитро Альянах, Іван Дияк

Анотація


У роботі використовуються методи машинного навчання для вибору оптимального порядку інтегрування елементів матриці жорсткості методу скінченних елементів для задачі осесиметричної теорії пружності з використанням чотирикутних сирендипових елементів. Розглянуто два підходи до підвищення точності інтегрування локальних матриць жорсткості: класифікатор, який прогнозує мінімальну кількість точок Гаусса–Лежандра, необхідну для досягнення заданої точності відносно еталонного інтегрування, та регресор, який оцінює вибір оптимальних вузлів та ваг квадратури. Навчальні вибірки згенеровано синтетично з нормалізацією геометрії елементів і обмеженнями на кути та координати. Обчислювальні експерименти показали, що наближення локальних матриць жорсткості до еталона в сенсі матричних норм не гарантує помітного зменшення похибки переміщень. У більшості проведених експериментів покращення від підбору вузлів та ваг не перевищували $10^{-3}\%$. Підбір кількості точок інтегрування підвищує точність обчислення елементів матриці жорсткості завдяки збільшенню порядку квадратури у випадках, де цього вимагає геометрична нелінійність відображення.

Посилання


1. Oishi A. Computational mechanics enhanced by deep learning / A. Oishi, G. Yagawa // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2017. – Vol. 327. – P. 327–351. – doi:10.1016/j.cma.2017.08.040.

2. Yu M. Learned Gaussian quadrature for enriched solid finite elements / M. Yu, S. Kim, G. Noh // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2023. – Vol. 414. – Art. 116188. – doi:10.1016/j.cma.2023.116188.

3. Yagawa G. Computational Mechanics with Deep Learning: An Introduction / G. Yagawa, A. Oishi // Cham, Switzerland: Springer. – 2022. – xiv, 402 p. – ISBN 978-3-031-11846-3. – doi:10.1007/978-3-031-11847-0.

4. Daviet G. Neurally Integrated Finite Elements for Differentiable Elasticity on Evolving Domains / G. Daviet, T. Shen, N. Sharp, D.I.W. Levin // ACM Transactions on Graphics. – 2025. – Vol. 44, no. 2. – Art. 20. – P. 1–17. – doi:10.1145/3727874.

5. Teijeiro T. Machine Learning Discovery of Optimal Quadrature Rules for Isogeometric Analysis / T. Teijeiro, J.M. Taylor, A. Hashemian, D. Pardo // Computer Methods in Applied Mechanics Engineering. – 2023. – Vol. 416. – Art. 116310. – doi:10.1016/j.cma.2023.116310.

6. Vithalbhai S.K. Artificial neural network assisted numerical quadrature in finite element analysis in mechanics / S.K. Vithalbhai, D. Nath, V. Agrawal, S.S. Gautam // Materials Today: Proceedings. – 2022. – Vol. 66, Part 4. – P. 1645–1650. – doi:10.1016/j.matpr.2022.05.254.

7. Gautam S.S. Transfer learning enhanced deep neural network application in Gauss quadrature for isogeometric analysis / S.S. Gautam, D. Nath, D. Neog // Engineering Applications of Artificial Intelligence. – 2025. – Vol. 145, no. 2. – Art. 110182. – doi:10.1016/j.engappai.2025.110182.

8. Nath D. Igrnet: A Robust Graph Neural Network Framework for Classifying Nurbs-Based Elements in Isogeometric Analysis with Application to Contact Mechanics / D. Nath, S.K. Das, D.R. Neog, S.S. Gautam. – 2025. – Preprint. – 68 p.

9. Hughes T.J.R. Efficient quadrature for NURBS-based isogeometric analysis / T.J.R. Hughes, A. Reali, G. Sangalli // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2010. – Vol. 199, no. 5–8. – P. 301–313. – doi:10.1016/j.cma.2008.12.004.

10. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, J.Z. Zhu. – 7th ed. – Oxford, UK: Butterworth-Heinemann (Elsevier). – 2013. – 756 p. – ISBN 978-1-85617-633-0.

11. Kress R. Numerical Analysis / R. Kress. – New York: Springer. – 1998. – xii, 326 p. – ISBN 978-0-387-98408-7. – doi:10.1007/978-1-4612-0599-9.

12. Kennedy J. Particle Swarm Optimization / J. Kennedy, R.C. Eberhart // Proc. IEEE Int. Conf. Neural Networks, Perth, Australia, Nov. 1995. – 1995. – Vol. 4. – P. 1942–1948.

13. Poli R. Particle swarm optimization / R. Poli, J. Kennedy, T. Blackwell // Swarm Intelligence. – 2007. – Vol. 1, no. 1. – P. 33–57. – doi:10.1007/s11721-007-0002-0.

14. Clerc M. The particle swarm explosion, stability, and convergence in a multidimensional complex space / M. Clerc, J. Kennedy // IEEE Transactions on Evolutionary Computation. – 2002. – Vol. 6, no. 1. – P. 58–73.

15. Eberhart R.C. Comparing inertia weights and constriction factors in particle swarm optimization / R.C. Eberhart, Y. Shi // Proc. IEEE Conference on Evolutionary Computation (ICEC). – 2000. – Vol. 1. – P. 84–88.

16. Burkov A. The Hundred-Page Machine Learning Book / A. Burkov. – Quebec City, Canada: Andriy Burkov. – 2019. – 160 p. – ISBN 978-1-9995795-0-0.

17. Kingma D.P. Adam: A method for stochastic optimization / D.P. Kingma, J. Ba // Proc. 3rd Intl. Conf. on Learning Representations (ICLR 2015), San Diego, CA, USA, May 7–9, 2015. – 2015. – doi:10.48550/arXiv.1412.6980.

18. Dyyak I. Investigation of stress error estimator in elasticity problems / I. Dyyak, Yu. Yashchuk // Contemporary Problems of Mathematics, Mechanics and Computing Sciences / N.N. Kizilova, G.N. Zholtkevych (eds.). – Kharkiv, Ukraine: Publishing House PPB Virovec' A.P. – 2011. – 396 p. – P. 33–43.




DOI: http://dx.doi.org/10.30970/vam.2025.35.13623

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.