Про зростання випадкових цілих рядів Діріхле

Анотація

Нехай $\Lambda ={\left({\lambda }_k\right)}_{k=0}^{+\infty }$ та $\mathit{f}={\left(f_k\left(\omega \right)\right)}_{k=0}^{+\infty }$ - послідовності невід'ємних чисел і комплекснозначних випадкових величин на ймовірнісному просторі $\left(\Omega ,\mathcal{A}\mathit{,}P\right)$, відповідно. Досліджуємо величини $R$-порядків ${\rho }_T\left(\omega \right)$ і $R$-типів $T_F\left(\omega \right)$ зростання випадкових рядів Діріхле вигляду $F\left(z\right)=F\left(z,\omega \right)=\sum _{k=0}^{+\infty }{f}_k\left(\omega \right)e^{z{\lambda }_k}$ $\left(z\in \mathrm{ℂ}, \omega \in \Omega \right)$. Зокрема, у випадку, коли $\beta \left(\Lambda \right)=\underset{k\to +\infty }{\lim }\frac{\ln k}{{\lambda }_k \ln {\lambda }_k}=0$ доведено таке твердження: якщо $\left(\left|f_k\left(\omega \right)\right|\right)$- послідовність попарно незалежних випадкових величин з функціями розподілу $F_k\left(x\right):=P\left\{\omega : \left|f_k\left(\omega \right)\right|<x\right\}$, $x\in \mathrm{ℝ}$, $k\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}_{+}$, то для того, щоб ${\rho }_F\left(\omega \right)=\rho \in \left(0,+\infty \right)$ м.н., необхідно і достатньо, щоб $\forall \in \left(0,\rho \right)$:
$$\sum_{k=0}^{+\infty}\Big(1-F_k\big(e^{-\frac1{\rho+\varepsilon}\lambda_k\ln \lambda_k}\big)\Big)<+\infty\ \wedge\ \sum_{k=0}^{+\infty}\Big(1-F_k\big(e^{-\frac1{\rho-\varepsilon}\lambda_k\ln \lambda_k}\big)\Big)=+\infty.$$