Абсциси збіжності рядів Діріхле з випадковими показниками

Анотація

Нехай $\Lambda ={\left({\lambda }_k\left(\omega \right)\right)}_{k=0}^{+\infty }$ та $f={\left(f_k\left(\omega \right)\right)}_{k=0}^{+\infty }$, відповідно, послідовності невід'ємних і комплекснозначних випадкових величин на ймовірнісному просторі $\left(\Omega ,\mathcal{A},P\right)$. Досліджуємо абсциси збіжності ${\sigma }_{зб}\left(F,\omega \right)$ і абсолютної збіжності $\sigma \left(F,\omega \right)$ випадкових рядів Діріхле вигляду
$F\left(z\right)=F\left(z,\omega \right)=\sum _{k=0}^{+\infty }{f}_k\left(\omega \right)e^{z{\lambda }_k\left(\omega \right)} \left(z\in \mathrm{ℂ}, \omega \in \Omega \right).$
Зокрема, у випадку, коли ${\lambda }_k\left(\omega \right)={\lambda }_k+{\delta }_k\left(\omega \right),$ , $\left\{{\lambda }_k:k⩾0\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}_{+}$, $f_k\left(\omega \right)=a_k{\xi }_k\left(\omega \right)$, а $\left({\xi }_n\right)$- послідовність комплекснозначних випадкових величин таких, що $\left(\exists c_l\in \left(0,+\infty \right)\right)\left(\forall n\right): c_1⩽\left|{\xi }_n\right|⩽c_2$ м.н., $\left({\delta }_n\right)$- послідовність невід'ємних випадкових величин  таких, що $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right): M\left(e^{x{\delta }_n}\right)⩽C_1=C_1\left(x\right)<+\infty$, доведено такі твердження.

1. Якщо $M\left({\xi }_n{e}^{x{\delta }_n}\right)=0$ для кожного $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ і довільного $x\in \mathrm{ℝ}$, $\left({\xi }_k{e}^{x{\delta }_k}\right)$ - послідовність незалежних випадкових величин  для кожного  $x\in \mathrm{ℝ}$, то ${\sigma }_{хб}\left(F,\omega \right)⩾\sigma \left(F_3\right)$ м.н., де $F_3\left(x\right)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\left|a_k\right|}^2{e}^{2x{\lambda }_k}$.  Якщо додатково припустити,  що $\left(\exists C_2\left(x\right)>0\right)\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : M\left(e^{x{\delta }_n}\right)⩾C_2\left(x\right)$, то ${\sigma }_{зб}\left(F,\omega \right)=\sigma \left(F_3\right)$ м.н.
2. Якщо $\left({\xi }_k{e}^{x{\delta }_k}\right)$ - послідовність незалежних випадкових величин для кожного $x\in \mathrm{ℝ}$, то $\sigma \left(F,\omega \right)⩾\sigma \left(F_4\right)$ $ м.н. Якщо додатково припустити, що
$\left(\forall x, x<\sigma \left(F,\omega \right)\right) \left(\exists a>0\right) \left(\forall n⩾1\right) : P\left\{\omega : \left|a_n\right|e^{x{\lambda }_n\left(\omega \right)}<a\right\}=1$ і $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : \left|{\xi }_n\left(\omega \right)\right|=c\ne \infty$ м.н., а також
$\left(\exists C_3\left(x\right)>0\right) \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : D{e}^{x{\delta }_n}⩾C_3\left(x\right),$
то $\sigma \left(F,\omega \right)=\sigma \left(F_4\right)$ м.н., де $F_4\left(x\right)=\sum _{k=0}^{+\infty }\left|a_k\right|e^{x{\lambda }_k}$.