ПРО РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ ХАРАКТЕРИСТИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Анотація

Для аналітичних в ${\mathbb{D}}_R=\left\{z : \left|z\right|<R\right\}$, $0<R\le +\infty$, характеристичних функцій $\phi$ ймовірнісних законів $F$ знайдено зв'язок між зростанням $M(r,\phi )=max\left\{\right|\phi \left(z\right)| : |z|=r\}$,  $r\in [0,R)$ і спаданням  $W_F\left(x\right)=1-F\left(x\right)+F(-x)$, $x\ge 0$. Отримані результати застосовано для знаходження умов на $W_F\left(x\right)$, за яких правильні асимптотичні рівності $\ln M(r,\phi )=(1+o(1\left)\right)T{r}^{\rho }$ при $r\to \infty$, де $T>0$, $\rho >1$ для цілих характеристичних функцій і $M(r,\phi )=\frac{(1+o(1\left)\right)T}{(R-r{)}^{\rho }}$ при $r\uparrow R$, де $T>0$, $\rho >0$ для аналітичних в крузі $\{z: |z|<R\}$ характеристичних функцій.