ПРО ОДНОСТАЙНЕ ЦІЛКОМ РЕГУЛЯРНЕ ЗРОСТАННЯ МОДУЛЯ ТА АРГУМЕНТА ГОЛОМОРФНОЇ В ПРОКОЛЕНІЙ КОМПЛЕКСНІЙ ПЛОЩИНІ ФУНКЦІЇ

Анотація

Розглянуто класи голоморфних  у ${\mathrm{ℂ}}^{* }:= \mathrm{ℂ} \backslash \left\{0\right\}$ функцій цілком регулярного зростання, поняття індикаторів таких  функцій, і за досить загальних припущень розв'язується задача
опису множин аналітичних в ${\mathrm{ℂ}}^{*}$функцій f, функцій зростання $\lambda$, функцій $H, H_1, H_{2 }$з ${\mathbb{L}}_p\left[0, 2\pi \right]$ і чисел $p \in \left[1, +\infty \right]$ таких, що:

$\left\{\frac{1}{2\pi }\right.{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\left.\left|\log F\left(r{e}^{i\theta }\right) +\overline{\log F\left(\frac{1}{r} e^{i\theta }\right) } - \lambda \left(r\right) H\left(\theta \right) \right|{ }^{p}d\theta \right\}}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p$}\right.} = o\left(\lambda \left(r\right)\right), r\to +\infty$

або

$\left\{\frac{1}{2\pi }\right.{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\left.\left|log F\left(r{e}^{i\theta }\right) - \lambda \left(r\right) H_1\left(\theta \right) \right|{ }^{p}d\theta \right\}}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p$}\right.} = o\left(\lambda \left(r\right)\right), r\to +\infty$

$\left\{\frac{1}{2\pi }\right.{\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\left.\left|\overline{log F\left(\frac{1}{r} e^{i\theta }\right) } - \lambda \left(r\right) H_2\left(\theta \right) \right|{ }^{p}d\theta \right\}}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$p$}\right.} = o\left(\lambda \left(r\right)\right), r\to +\infty$

де

$F\left(z\right) = z^{-m}\tilde{f}\left(z\right), f\left(a_j\right) = 0,$

$\tilde{f}\left(z\right) = f\left(z\right) \prod _{\left|a_j\right|=1}{\left(z - a_j\right)}^{-1}, m =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\left|z\right| = 1}\frac{{\displaystyle \widetilde{f\text{'}}\left(z\right)}}{\tilde{f}\left(z\right)} dz.$

Ключові слова: голоморфна функція, функція цілком регулярного зростання,  індикатор зростання, коефіцієнти Фур'є, коефіцієнти Фур'є-Стільтьєса.