Нелінійне інтегральне рівняння типу Урисона, залежне від трьох числових параметрів. Випадок біфуркації розвязків

Анотація

У даній роботі продовжується дослідження проблеми неєдиності розв’язків нелінійного інтегрального рівняння типу Урисона для більш загального випадку, при введенні в підінтегральну функцію трьох числових параметрів. Такі рівняння дають змогу описати більш загальну структуру об’єктів і виникають, зокрема у задачах синтезу випромінюючих систем. Застосування методів розв’язування нелінійних спектральних задач дозволило отримати рівняння для знаходження множини параметрів, при яких відбувається галуження розв’язків. У результаті розроблено алгоритми, які зводять задачу до розв’язування задачі Коші, і дають змогу знайти в заданій області множину точок можливої біфуркації розв’язків у вигляді спектральних ліній або поверхонь.

Отримана методика застосована до практичної задачі –дослідження неєдиності розв’язків задачі синтезу випромінювача плоского розкриву за заданою діаграмою напрямленості за потужністю. Основне рівняння синтезу залежить від трьох параметрів, що описують фізичні характеристики системи, і зводиться до розв’язування системи нелінійних інтегральних рівнянь. Задача Коші дозволяє знаходити множину точок біфуркації та визначати властивості біфуркуючих розв’язків, що залежать від симетрії діаграми напрямленості. Числові результати показують зміни у властивостях власних функцій на різних точках біфуркації, що дозволяє вибирати оптимальні розв’язки, які дають найкраще наближення до заданих діаграм напрямленостей у межах функціоналу.

 This paper continues the study of the non-uniqueness problem of solutions to a nonlinear integral equation of the Urysohn type in a more general case, by introducing three numerical parameters into the integrand function. Such equations allow for the description of a more general structure of objects and arise, in particular, in problems of synthesizing radiating systems. The application of methods for solving nonlinear spectral problems made it possible to derive equations for determining the set of parameters at which solution branching occurs. As a result, algorithms have been developed that reduce the problem to solving a Cauchy problem, enabling the identification of a set of possible bifurcation points of the solutions within a given domain in the form of spectral lines or surfaces.

The proposed method has been applied to a practical problem – the study of the non-uniqueness of solutions in the synthesis of a flat aperture radiator with a given power radiation pattern. The main synthesis equation depends on three parameters that describe the physical characteristics of the system and is reduced to solving a system of nonlinear integral equations. The Cauchy problem allows finding the set of bifurcation points and determining the properties of bifurcating solutions, depending on the symmetry of the radiation pattern. Numerical results demonstrate changes in the properties of eigenfunctions at various bifurcation points, which makes it possible to choose optimal solutions that provide the best approximation to the given radiation patterns within the functional.