ТЕОРЕМИ КАРАТЕОДОРI-ЛАСАЛЛЯ ДЛЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ ТА ЇХНЄ ЗАСТОСУВАННЯ

Анотація

Розглянули таку задачу Кошi для систем звичайних диференцiальних рiвнянь:

{ ψ′′(t) + K(t,ψ(t),ψ′(t)) = S(t), t ∈ (0,T), ψ(0) = ψ0, ψ′(0) = ψ1,
(∗)

,  де K та S - деякi вектор-функцiї;  ψ0,ψ1 ∈ Rd - деякi фiксованi вектори. Системи такого типу виникають у багатьох задачах класичної механiки, бо вони випливають з другого динамiчного закону Ньютона. Якщо за допомогою методу Фаедо-Ђальоркiна шукати розв'язок мiшаних задач для лiнiйних чи нелiнiйних рiвнянь гiперболiчного типу, то при побудовi  альоркiнських наближень ми теж отримаємо задачi типу (*). На практицi для того, щоб розв'язати задачi Кошi типу (*), Їх часто зводять до такої задачi Кошi для системи вищої розмiрностi:

ψ′(t) = θ(t), t ∈ (0,T), θ′(t) = S(t)−K(t,ψ(t),θ(t)), t ∈ (0,T), ψ(0) = ψ0, θ(0) = ψ1.
(∗∗)

Потiм використовують стандартнi теореми iснування розв'язку, типу теорем Пеано чи Каратеодорi. Але цi теореми дають iснування лише локальних розв'язкiв задач i для iснування глобальних розв'язкiв треба додатково використовувати певнi теореми про продовження знайдених локальних розв'язкiв. З iншого боку, можна зразу доводити iснування глобальних розв'язкiв задач (*) чи (**). Ми знайшли умови глобальної розв'язностi задачi Кошi (*). Вiдповiднi результати для задачi (**) отримали в нашiй попереднiй статтi. Отриманi умови поєднують в собi умови Каратеодорi iснування розв'язку задачi (*) з умовами Ласалля про продовження цього розв'язку. Наприкiнцi ми використали отриманi результати для з'ясування iснування розв'язку мiшаної задачi для нелiнiйних гiперболiчних рiвнянь зi змiнними показниками нелiнiйностi.