Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична
У "Віснику Львівського університету. Серія механіко-математична" публікуються праці з теорії крайових задач для диференціальних рівнянь, алгебри, топології, теорії функцій комплексного змінного, функціонального аналізу, теорії ймовірності та статистики, проблем математичного моделювання фізико-механічних процесів і механіки. Рік заснування: 1965. Засновник і Видавець: Львівський національний університет імені Івана Франка, Україна. Код ЄДРПОУ: 02070987 ROR: https://ror.org/01s7y5e82 ISSN 2078-3744 (друк). Реєстрація суб'єкта у сфері друкованих медіа: Рішення Національної ради України з питань телебачення і радіомовлення №1877 від 30.05.2024 р., про внесення змін №3109 від 07.11.2024р. Суб'єкт у сфері друкованих медіа – Львівський національний університет імені Івана Франка (вул. Університетська, 1, м. Львів, 79000; <a id="menur4hu" class="fui-Link ___1q1shib f2hkw1w f3rmtva f1ewtqcl fyind8e f1k6fduh f1w7gpdv fk6fouc fjoy568 figsok6 f1s184ao f1mk8lai fnbmjn9 f1o700av f13mvf36 f1cmlufx f9n3di6 f1ids18y f1tx3yz7 f1deo86v f1eh06m1 f1iescvh fhgqx19 f1olyrje f1p93eir f1nev41a f1h8hb77 f1lqvz6u f10aw75t fsle3fq f17ae5zn" title="mailto:zag_kan@lnu.edu.ua" href="mailto:zag_kan@lnu.edu.ua" rel="noreferrer noopener" target="_blank">zag_kan@lnu.edu.ua; тел. +38 (032) 239-41-11). Ідентифікатор медіа: R30-04898 Кластер фахового наукового видання: Математика та статистика (Спеціальності – E7 Математика, E8 Статистика, F1 Прикладна математика). DOI: http://dx.doi.org/10.30970/vmm Періодичність: 1-2 випуски на рік. Мови рукопису: українська, англійська. Журнал включено до категорії Б переліку друкованих фахових видань України за спеціальностями 111, 113 (Наказ МОН України № 1188 від 24.09.2020 р.). Мета та завдання видання. Індексування: Наукова періодика України Crossref Google Scholar
Львівський національний університет імені Івана Франка
ЕКВIВАЛЕНТНIСТЬ ЗА МАРКОВИМ НАБОРIВ ТИХОНОВСЬКИХ ПРОСТОРIВ 6: ПРОДОВЖЕННЯ НЕПЕРЕРВНИХ ВIДОБРАЖЕНЬ У ТОПОЛОГIЧНI ГРУПИ
У статтi вивчаються вiдноснi властивостi топологiчних просторiв пов’язанi з продовженням неперервних вiдображень у топологiчнi групи, якi зберiгаються вiдношенням еквiвалентностi. Ключовi слова: вiльна топологiчна група, сiм’я топологiчних просторiв, M-еквiвалентнiсть, H-вкладений пiдпростiр.
ЕЛЕМЕНТАРНI ЗАУВАЖЕННЯ ДО α-ПСЕВДОЗIРКОВИХ РЯДIВ ДIРIХЛЕ
Абсолютно збiжний у пiвплощинi Π 0 = {s : Res < 0} ряд Дiрiхле F ( s ) = e s λ 1 + <munderover> ∑ k = 2 ∞ </munderover> f k e x p { s λ k } , 0 < λ k ↑ ∞ , називається α-псевдозiрковим, α ∈ R, якщо Re{(1 − α)F′(s)/F(s) + αF′′(s)/F′(s)}> 0, s ∈ Π 0 . Доведено, що кожна α-псевдозiркова функцiя є псевдозiрковою, тобто Re{F′(s)/F(s)} > 0 для всiх s ∈ Π 0 . Крiм цього, якщо α ≥ 1, то α-псевдозiркова функцiя є псевдоопуклою, тобто Re{F′′(s)/F′(s)} > 0 для всiх s ∈ Π 0 . Подiбний результат отримано для рядiв вигляду F ( s ) = e - s λ 1 + <munderover> ∑ k = 2 ∞ </munderover> f k e x p { s λ k } . Ключовi слова: ряд Дiрiхле, α-псевдозiркова функцiя.
БЕЗПОСЕРЕДНЄ РОЗВИНЕННЯ В РЯД ФУР’Є ЛОГАРИФМА КАНОНIЧНИХ ДОБУТКIВ ВЕЙЕРШТРАССА
Нехай π p = <munderover> ∏ n = 1 + ∞ </munderover> E <mfenced> z a n , p </mfenced> – канонiчний добуток Вейерштрасса роду, p, ℂ * – комплексна площина з радiальними розрiзами вiд нулiв функцiї π p до ∞, ln π p (z) визначена в ℂ * однозначна гiлка багатозначної функцiї Ln πp(z) = ln | π p (z)| + iArg π p (z) така, що ln π p (0) = ln 1 = 0. Тобто ln π p <mfenced> z </mfenced> = ∫ 0 z π ' p <mfenced> w </mfenced> π p <mfenced> w </mfenced> d w , z ∈ ℂ * , де iнтеграл береться вздовж вiдрiзку [0, z]. Безпосереднiм розвиненням ln π p (z) в ряд Фур’є отримано формули для коефiцiєнтiв Фур’є c k <mfenced> r , ln π p </mfenced> , якi залежать вiд нулiв π p (z). Ключовi слова: канонiчний добуток Вейерштрасса, цiла функцiя, коефiцiєнти Фур’є логарифму цiлої функцiї.
Copyright (c) 2026 Микола Заболоцький, Мар’яна Мостова, Святослав Тарасюк
ДОСЛIДЖЕННЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРНИХ ТА ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ МЕТОДОМ ФУР’Є. Частина I
Ця праця має науково-методологiчний характер, вона мiстить детальний виклад схеми дослiджень крайових задач для лiнiйних рiвнянь з диференцiальними та псевдодиференцiальними операторами. Основним iнструментом є метод Фур’є: для розв’язкiв задач отримано зображення у виглядi рядiв за ортогональними системами функцiй. Вивчення властивостей розв’язкiв задач зведено до опису поведiнки послiдовностi їх коефiцiєнтiв Фур’є. З цiєю метою у роботi запроваджено i описано властивостi гiльбертових просторiв числових послiдовностей, встановлено їх зв’язок iз вiдповiдними гiльбертовими просторами функцiй. Особливу увагу придiлено ролi гiльбертового простору як унiфiкованого координатного середовища для аналiзу вiдповiдних задач. Ключовi слова: диференцiальне рiвняння, операторне рiвняння, диференцiально-операторне рiвняння, крайова задача, ряд Фур’є, скiнченне перетворення Фур’є, гiльбертiв простiр, простiр Лебега, простiр Соболєва, ортонормована база.
Copyright (c) 2026 Микола Бокало, Тарас Бокало, Михайло Симотюк
ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОВИМIРНОГО ХВИЛЬОВОГО РIВНЯННЯ З δ-ПОТЕНЦIАЛОМ
Ми дослiджуємо iснування розв’язку задачi Кошi для хвильового рiвняння з δ-потенцiалом на прямiй. Доведено, що в класi узагальнених функцiй такий розв’язок iснує тодi i лише тодi, коли вiдсутнє початкове вiдхилення струни в точцi, де зосереджений δ-потенцiал. У цьому випадку розв’язок єдиний i допускає явне аналiтичне подання, яке є сумою класичної формули д’Аламбера для вiльного поширення хвиль та доданка, що описує їх розсiювання на δ-потенцiалi. Ключовi слова: Хвильове рiвняння, точкова взаємодiя, δ-потенцiал, точна модель, розсiювання.
Copyright (c) 2026 Юрiй Головатий, Катерина Малиш
ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФIЦIЄНТIВ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ В РIВНЯННI ДИФУЗIЇ З ДРОБОВОЮ ПОХIДНОЮ ЗА ЧАСОМ
Дослiджуємо обернену задачу про визначення класичного розв’язку першої крайової задачi для рiвняння дифузiї з дробовою похiдною за часом та залежних вiд часу неперервних коефiцiєнтiв при похiдних першого порядку у рiвняннi. Використовуємо iнтегральнi за просторовими змiнними умови перевизначення. Знаходимо достатнi умови єдиностi та локального за часом iснування класичного розв’язку оберненої задачi. Ключовi слова: дробова похiдна, обернена задача, iнтегральна умова, вектор-функцiя Грiна.
Copyright (c) 2026 Petro Boyko, Halyna Lopushanska, Petro Pukach
ЗОВНIШНIЙ ВПЛИВ НА ДИНАМIКУ ПОПУЛЯЦIЙ, ЯКI СКЛАДАЮТЬСЯ 3 ОСОБИН ДВОХ СТАТЕЙ
Дана робота присвячена опису динамiки популяцiї за допомогою диференцiальних рiвнянь першого порядку в частинних похiдних для твiрної функцiї моментiв. Використовуючи властивостi твiрної функцiї кумулянт, дослiджено зовнiшнiй вплив на число особин популяцiї. Встановлено умови збереження розмiру популяцiї на сталому рiвнi. Ключовi слова: популяцiйна динамiка, диференцiальнi рiвняння в частинних похiдних.
Copyright (c) 2026 Галина Барабаш, Юлiан Єременко
ПРОЦЕСИ ПУАССОНА З НЕЛIНIЙНОЮ АПРОКСИМАЦIЄЮ ЧАСУ
Дана робота присвячена дослiдженню процесу Пуассона з нелiнiйним нормуванням. Розглядається процес Пуассона з нелiнiйною апрокисмацiєю часу t/g(ε) , де g(ε) → 0 при ε → 0. Знайдено розподiл даного процесу та наведено приклад, що демонструє вплив функцiї нормування на поведiнку ймовiрностей. Ключовi слова: Процес Пуассона, нелiнiйна апроксимацiя, процеси з незалежними приростами, ймовiрнiсний розподiл
Copyright (c) 2026 Оксана Ярова, Юлiанна Химишинець
КЕРОВАНI МАРКIВСЬКI ПРОЦЕСИ З ОБРИВОМ У ФIНАНСОВИХ ЗАДАЧАХ
У роботi розглянуто дискретну модель керованого маркiвського процесу з обривом на скiнченному горизонтi часу. Обрив iнтерпретується як банкрутство фiнансової системи, а керування впливає як на поточний дохiд, так i на ймовiрнiсть переходу в обривний стан. Для моделi введено функцiонал якостi, побудовано оператори динамiчного програмування, виведено рiвняння Беллмана, доведено iснування оптимальної маркiвської стратегiї та наведено умову побудови рiвномiрно ε-оптимальних стратегiй. Наприкiнцi подано фiнансовий приклад для моделi капiталу з двома режимами ризику. Ключовi слова: керований маркiвський процес, обривний стан, функцiонал якостi, рiвняння Беллмана, оптимальна стратегiя, банкрутство.
Copyright (c) 2026 Ярослав Єлейко, Антон Нос
БАЙЄСIВСЬКЕ ВИСНОВУВАННЯ АГРЕГОВАНОГО ЯДРА ПЕРЕХОДIВ У ПРИХОВАНIЙ СУМIШI МАРКОВСЬКИХ ЛАНЦЮГIВ
У статтi розглядається задача байєсiвського висновування для агрегованої матрицi переходiв дискретного Марковського процесу, породженого сумiшшю прихованих компонент. На вiдмiну вiд бiльшостi робiт, де основна увага придiляється вiдновленню прихованих режимiв або компонентних матриць переходiв, у данiй роботi об’єктом дослiдження є агреговане ядро переходiв, яке є iдентифiкованим функцiоналом моделi навiть за неiдентифiкованостi компонент. Для моделi з латентними незалежними iндикаторами режимiв, Дiрiхле апрiором на ваги сумiшi та Дiрiхле апрiорами на рядки компонентних матриць, запропоновано алгоритм який базується на методi варiацiйного Байєса з середньопольовим наближенням, включно з повним виведенням ELBO (Evidence Lower Bound) та координатними оновленнями. Отримано аналiтичнi формули для перших двох моментiв агрегованого ядра з варiацiйним апостерiором та запропоновано компактну Дiрiхле проєкцiю на основi методу моментного узгодження. Запропонований пiдхiд забезпечує iнтерпретоване подання апостерiорної невизначеностi агрегованої динамiки без необхiдностi iдентифiкацiї компонентiв сумiшi. Ключовi слова: Сумiш Марковських процесiв, розподiл Дiрiхле, Байєсiвське висновування, середньопольова факторизацiя, розходження Кульбака-Лейблера, нижня межа правдоподiбностi.
ВIДНОСНА ЧАСТОТА ПОЯВ ЗЕМЛЕТРУСIВ НА ПРОТЯЗI 1924-2023 РОКIВ
У данiй статтi проводиться статистичний аналiз кiлькостi появ землетрусiв в цiлому по планетi та в найбiльш сейсмiчних країнах в Iндонезiї, в Чилi, в Японiї. Розглядається вiдносна частота i проводиться аналiз тенденцiї поведiнки на протязi 100 рокiв. Ключовi слова: вибiрка, нормальний розподiл, лiнiя тренду, регресiйнi залишки.
Copyright (c) 2026 Iрина Базилевич, Iван Конотоп
РОЗТЯГ ПЛАСТИНИ З ОТВОРОМ ТА РАДIАЛЬНОЮ НЕНАСКРIЗНОЮ ТРIЩИНОЮ, З УРАХУВАННЯМ ПЛАСТИЧНИХ ЗОН НА ЇЇ ПРОДОВЖЕННI
Розв’язано задачу про розтяг безмежної iзотропної пластини з круговим отвором та радiальною ненаскрiзною прямолiнiйною трiщиною. Вважається, що пiд дiєю зовнiшнього навантаження на нескiнченностi на продовженнi ненаскрiзної трiщини утворилися пластичнi зони, для яких виконуються умови пластичностi Треска-Сен-Венана. Оскiльки трiщина є ненаскрiзною, тому розв’язок сформульованої задачi шукався у виглядi розв’язкiв двох взаємопов’язаних задач: плоскої задачi теорiї пружностi та задачi згину пластини (класична теорiя). Розв’язок задачi побудований з використанням методiв теорiї функцiй комплексної змiнної та комплексних потенцiалiв i зведений до системи сингулярних iнтегральних рiвнянь, яка розв’язана чисельно за допомогою методу механiчних квадратур. Побудовано графiки для довжин пластичних зон в залежностi вiд зовнiшнього навантаження та геометричних параметрiв задачi. Ключовi слова: пластина, трiщина, пластичнi зони, граничнi умови, теорiя пружностi, плоска задача, задача згину пластини, комплекснi потенцiали, задача лiнiйного спряження, сингулярнi iнтегральнi рiвняння, числовi методи, коефiцiєнти iнтенсивностi.
Copyright (c) 2026 Микола Слободян, Лукiян Маркевич
ОПТИМАЛЬНЕ КЕРУВАННЯ ОСЕСИМЕТРИЧНИМИ НАПРУЖЕННЯМИ ПIВПРОСТОРУ ЗА ДОПОМОГОЮ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМIНУ
Сформульовано та дослiджено осесиметричну стацiонарну задачу оптимального керування температурними напруженнями пiвпростору, що нагрiвається внутрiшнiми джерелами тепла. Керування здiйснюється шляхом конвективного теплообмiну з оточуючим середовищем. У просторi неперервних функцiй побудовано розв’язок оберненої задачi термопружностi, до якої зведено сформульовану задачу керування. Для конкретних випадкiв теплового навантаження пiвпростору числово дослiджено та проаналiзовано особливостi поведiнки знайденого розв’язку. Ключовi слова: оптимальне керування, обернена задача термопружностi, температурнi напруження.
Copyright (c) 2026 Анатолiй Ясінський, Валерiй Козицький, Володимир Флюд
РОЗТЯГ ПЛАСТИНИ З АБСОЛЮТНО ЖОРСТКОЮ ШАЙБОЮ ТА РАДIАЛЬНОЮ ТРIЩИНОЮ, НА ПРОДОВЖЕННI ЯКОЇ УТВОРИЛИСЯ ПЛАСТИЧНI ЗОНИ
У статтi побудовано розв’язок задачi про розтяг безмежної iзотропної пластини з абсолютно жорсткою круговою шайбою та наскрiзною радiальною прямолiнiйною трiщиною. Припускалося, що за дiї рiвномiрно розподiленого розтягувального навантаження на безмежностi на продовженнi трiщини утворилися пластичнi зони, для яких виконуються умови пластичностi Треска-Сен-Венана. Використавши методи теорiї функцiй комплексної змiнної та комплексних потенцiалiв розв’язок задачi зведений до системи сингулярних iнтегральних рiвнянь, яка розв’язана числовим методом механiчних квадратур. Проведено числовий аналiз задачi та побудовано графiки для довжин пластичних зон в залежностi вiд прикладеного зовнiшнього навантаження. Ключовi слова: плоска задача, пластина, абсолютно жорстка шайба, трiщина, пластичнi зони, граничнi умови, комплекснi потенцiали, задача лiнiйного спряження, сингулярнi iнтегральнi рiвняння, числовi методи, коефiцiєнти iнтенсивностi напружень.
Copyright (c) 2026 Максим Шайнога, Олег Смаль
ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛIЗ ТЕРМОМАГНIТОЕЛЕКТРОПРУЖНОГО СТАНУ БIМАТЕРIАЛЬНИХ СТРУКТУР IЗ СИСТЕМОЮ ТОНКИХ ВКЛЮЧЕННЯМИ ЗА УМОВИ НЕIДЕАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО КОНТАКТУ ФАЗ
У роботi розроблено комплексний пiдхiд до розв’язання двовимiрних задач термомагнiтоелектропружностi бiматерiальних структур, з когерентним iнтерфейсом високої теплопровiдностi, що мiстять тонкi, нахиленi пiд кутом до межi подiлу, включення. Математична модель ґрунтується на поєднаннi розширеного формалiзму Стро та методiв теорiї функцiй комплексної змiнної, що дозволяє врахувати взаємодiю механiчних, температурних, електричних та магнiтних полiв в анiзотропних середовищах. На основi побудованих фундаментальних розв’язкiв отримано систему граничних iнтегральних рiвнянь типу Сомiльяни, адаптовану для умов неiдеального теплового контакту компонентiв бiматерiалу. Для чисельної реалiзацiї запропоновано модифiкований метод граничних елементiв, який забезпечує високу точнiсть обчислення градiєнтiв полiв поблизу концентраторiв напружень. Проведено детальний аналiз взаємодiї мiж тонкими деформiвними включеннями, що перетинають поверхню контакту пiд кутом. Розв’язано задачу для бiматерiального тiла з двома включеннями. Дослiджено вплив геометричних параметрiв та фiзичних властивостей включень на розподiл локальних полiв, що має практичне значення для проектування та оцiнки надiйностi багатофункцiональних композитних пристроїв i сенсорiв. Ключовi слова: Бiматерiал, iнтерфейс високої теплопровiдностi, тонке включення, комплексний потенцiал, формалiзм Стро, рiвняння типу Сомiльяни.
Copyright (c) 2026 Андрiй Василишин, Iван Звізло
ЗГИН З РОЗТЯГОМ КРУГЛОЇ ПЛАСТИНИ З ДВОМА НАСКРIЗНИМИ РАДIАЛЬНИМИ ТРIЩИНАМИ ЗА СМУГОВОГО КОНТАКТУ ЇХНIХ БЕРЕГIВ
Розв’язано задачу про згин з розтягом круглої iзотропної пластини з двома радiальними трiщинами з урахуванням смугового контакту їхнiх берегiв. За допомогою теорiї комплексних потенцiалiв розв’язок задачi зведений до системи сингулярних iнтегральних рiвнянь, яка розв’язана чисельним методом механiчних квадратур. Проведено числовий аналiз задачi. Ключовi слова: трiщина, згин, пластина, контакт, комплекснi потенцiали, задачi лiнiйного спряження, контактне зусилля, коефiцiєнти iнтенсивностi.
Copyright (c) 2026 Богдан Слободян, Роман Селіверстов, Iгор Яцик
Дослiджена проблема визначення кривої дохiдностi для ринку кредитiв. Дано формулювання задачi про визначення рiчної процентної ставки для класичного кредиту за спот-ставками, а також оберненої задачi про визначення часової структури спот-ставок за рiчною процентною ставкою для кредиту. Знайдено розв’язки сформульованих задач. Показано, що ставка для класичного кредиту знаходитися в межах спот-ставок. Доведено, що розв’язок задачi про знаходження кривої дохiдностi iснує не завжди. Як приклад, засобами електронних таблиць побудована крива дохiдностi для iпотечних кредитiв на вторинному ринку житла в Українi. Ключовi слова: класичнi кредити, рiчна процентна ставка, крива дохiдностi, часова структура процентних ставок, iпотечнi кредити.
Copyright (c) 2026 Андрій Вус, Іван Прокопишин, Юрій Табін
IНТЕГРАЛИ ТИПУ ЛАПЛАСА-СТIЛТ’ЄСА: СПIВВIДНОШЕННЯ БОРЕЛЯ i h -МIРА ВИНЯТКОВОЇ МНОЖИНИ
В класi функцiй F : ℝ → ℝ + вигляду F ( x ) = ∫ 0 + ∞ f ( u ) e x u v ( d u ) , де v — невiд’ємна мiра на ℝ + з необмеженим носiєм s u p p ν , a ( x ) — довiльна невiд’ємна v -вимiрна функцiя на ℝ + , встановленi умови, за яких асимптотичне спiввiдношення ln F ( x ) ⩽ ( 1 + o ( 1 ) ) ln μ * ( x , F ) виконується при x → + ∞ зовнi деякої множини E скiнченної h -мiри, тобто, ∫ E d h ( x ) < + ∞ ; тут μ * ( x , F ) = s u p { a ( u ) e x u : u ∈ s u p p ν } . Ключовi слова: iнтеграл Лапласа-Стiлт’єса, спiввiдношення Бореля, h -мiра, виняткова множина.
Copyright (c) 2026 Андрiй Боднарчук, Тетяна Сало, Олег Скасків