\input{VisnykAMI.tex}

\Headers{Petrenko\,P., Sydorenko\,S.}

\begin{UdcEng}
519.6
\end{UdcEng}

\begin{Title}
TITLE
\end{Title}

\begin{Authors}
P.\,Petrenko$^{1}$, S.\,Sydorenko$^{1,2}$
\end{Authors}

\addcontentschapter{Petrenko\,P., Sydorenko\,S.}
{Title}

\begin{Organization}
$^{1}$Organization1,\\
adress, e-mail: \href{petrenko@gmail.com}\\
$^{2}$Organization2,\\
adress, e-mail: \href{sydorenko@gmail.com}
\end{Organization}

\begin{Abstract}
In this paper we use scaling of the independent variable to introduce similarity criteria of P?clet and Strouhal
as indicators of singular perturbations of considered diffusion-advection-reaction equation with Robin boundary conditions.
In the terms of these criteria, we analyze the corresponding variational problem for well posedness and establish sufficient
conditions for this. Finally we transform the original problem to the equivalent problem of minimization  for quadratic functional.
Furthermore we introduce hp-adaptive finite element scheme for solving the considered problem. Constructed scheme combines classic
explicit and implicit error estimators for selecting elements for refinement and making decision for each selected element about
its bisection or incrementing of polynomial order on it respectively. In the end we present some numerical examples and comparison
with the results, obtained using reference solution algorithm.
\KeywordsEng
diffusion-advection-reaction boundary value problem, P?clet criteria, Strouhal criteria,
well-posedness of variational problem, symmetrization, minimization of quadratic functional,
finite element method, condensation of internal degrees of freedom, a posteriori error estimator,
\textit{hp}-adaptive scheme, reference solution.
\end{Abstract}


\section{Introduction}
Finite element method is an universal tool for solving boundary value problems for partial differential equations (see \cite{Brenner-S}).
It is applicable for problems on very complex domains in 2- and 3-dimensional spaces. During last years the main focus is on
the adaptive algorithms for FEM. The main idea is to adapt mesh (h-adaptivity), element polynomial order ($p$-adaptivity)
or both mesh and order ($hp$-adaptivity) to minimize computational cost needed for solving the given problem.
Such algorithms are implemented using local a posteriori error estimators. It's naturally to interpret hp-schemes
as most advanced as they give us most wide approximation capabilities.
Theoretically it is proven that they can produce exponentially convergent sequences of approximations to original solution
of boundary value problem \cite{Schwab-Ch}.

\subsection{Model problem}
We consider the following boundary value problem for diffusion-advection-reaction equation

\subsection{Scaling of variables}
In order to show specific of the boundary value problem ...
\begin{equation}\label{boundary-value-problem}
\left\{
\begin{array}{l}
\text{find function} \quad u=u(t) \quad \text{such that}\\[0.5\baselineskip]
- (\nu, u') + Pe[\beta u' + Sh \sigma u] = f \quad \text{in} \quad \Omega = (0,1)\\[0.5\baselineskip]
(\nu u' - \alpha u)\vert_{t = 0} =g_{0}, \quad (-\nu u' - \gamma u)\vert_{t = 1} =g_{1}.
\end{array}
\right.
\end{equation}
where ...

\section{Well-posedness of variational problem}
We are able to prove the well-posedness of variational problem (4).
\begin{proposition}\label{Well-posedness} Let data of the problem (1) satisfies the following conditions
\begin{equation}\nonumber
\left\{
\begin{array}{l}
\nu \in L^{\infty}(\Omega),\\[0.5\baselineskip]
\nu(x)\geq \nu_{0}=\const \quad \text{a.e} \in \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
Then ...
\end{proposition}
\begin{proof}
Let us define the linear function ...

Taking into account Lax-Milgram-Vyshyk lemma \cite{}[8], we can simply prove that
the variational problem (\ref{boundary-value-problem}) has unique solution ...
\end{proof}


\begin{thebibliography}{99}
\begin{small}

\bibitem{Brenner-S}
Brenner\,S.\
The Mathematical Theory of Finite Element Methods
/\,S.\,Brenner, L.\,Scott.\,-- Springer, 2008, 3ed.\,-- 404\,p.

\bibitem{Schwab-Ch}
Schwab\,Ch.\
$p$ and $hp$-Finite Element Methods.\,-- Clarendon Press, 1998.

\end{small}
\end{thebibliography}


\begin{Title}
НАЗВА СТАТТІ
\end{Title}

\begin{Authors}
П.\,Петренко$^{1}$, С.\,Сидоренко$^{1,2}$
\end{Authors}

\addcontentschapter{Petrenko\,P., Sydorenko\,S.}
{Назва статті}

\begin{Organization}
$^{1}$Організація1,,\\
адреса, e-mail: \href{petrenko@gmail.com}\\
$^{2}$Організація2,\\
адреса, e-mail: \href{sydorenko@gmail.com}
\end{Organization}

\begin{Abstract}
За допомогою масштабування незалежної змінної вводяться критерії подібності Пекле і Струхаля, які сигналізують
про сингулярну збуреність розглядуваної крайової задачі дифузії-адвекції-реакції з крайовими умовами Робена.
В термінах цих критеріїв проаналізовано відповідну варіаційну задачу щодо коректності її формулювання,
визначено достатні для цього умови на ці задачі. Ми симетризуємо останню задачу і подаємо еквівалентну
їй задачу мінімізації квадратичного функціонала.
\KeywordsUkr
крайова задача дифузії-адвекції-реакції, критерій Пекле, критерій Струхаля, коректність варіаційної задачі,
симетризація, мінімізація квадратичного функціонала, метод скінченних елементів, конденсація внутрішніх параметрів,
апосте\-ріорний оцінювач похибки, hp-адаптивна схема, взірцевий розв’язок.
\end{Abstract}


\end{document}
